2017/11/14

Logique tétravalente (Partie 2)



"Once again, it seems that there is a threshold for complex behavior - that is reached as soon as one has at least four states."
(Stephen Wolfram, A knew kind of science)


Nous avons terminé la partie 1 en citant G.G. Granger. Page 30 de Sciences et réalité il notait : « la théorie kripkéenne ne saurait servir à interpréter la syllogistique modale d’Aristote, en particulier dans la mesure où les modalités kripkéennes sont des opérations de propositions, itérables et combinables entre eux, ce que ne sont jamais les modalités d’Aristote, pour qui la « nécessité du possible » par exemple semble dépourvue de sens. » C’est le moment d’introduire notre proposition de calcul formel propositionnel en logique tétravalente, pour tenter de combler ce manque. L'autre sujet sur le sens sémantique sera traité dans une troisième partie.

L’ouvrage de François Rivenc, Introduction à la logique pertinente (P.U.F., 2005), nous offre un état de l’art détaillé des structures des logiques alternatives à la logique binaire classique. Dans sa préface, l’auteur écrit : « L'idée est sans doute que la logique est le domaine de la rigueur absolue, des preuves impeccables : comment discuter ce qui légifère sur les conséquences nécessaires de vérités elles-mêmes nécessaires ? D'où la tentation d'utiliser de manière parfois absurde ses « résultats », dès lors qu'ils paraissent profonds, et de nature à conforter une vision philosophique. [...] il faut avouer que la manière dont la logique est enseignée dans les départements de philosophie porte une part de responsabilité dans cet état de choses. À l'opposé de l'esprit d'exploration et de remise en question, qui est censé être le lot de l'enseignement philosophique (je dis bien censé), la logique est présentée de manière beaucoup trop dogmatique. » C’est le premier piège qu’avertis nous essaierons d’éviter. Mais il poursuit : « Mais du point de vue conceptuel, ne faudrait-il pas au moins situer [la logique] ? Clarifier les choix qui ont présidé à sa construction, et qui doivent être évalués ? Comment réagir, par exemple, à la foisonnante pluralité des systèmes logiques d'aujourd'hui ? »

Notre proposition de réaction est de poursuivre l’approche de Guénon vue dans la partie 1 et de formaliser une logique tétravente, à 4 valeurs de vérité : nécessaire, possible, impossible, contingent. Nous verrons plus loin que la pertinence de la description de Guénon ne se limite pas à cela.
L’intérêt principal du développement des logiques formelles depuis un siècle a été de montrer que « Le problème vient du fait qu'on peut caractériser autrement la négation, en termes de modèles, et que la « négation sémantique forte », liée aux Principes du Tiers exclu et de non contradiction, n'apparaît plus que comme une négation parmi d'autres. » (François Rivenc, Introduction à la logique pertinente, Pp. 151) Pour les logiciens, la question de savoir quelle est la vraie négation (la plus proche de la réalité) est encore ouverte, aussi étonnant que cela puisse paraître pour les autres.

Nous commençons donc par définir l’opérateur de négation. Notons tout d’abord que dans la logique classique booléenne, cette opération ne transforme pas une proposition en la niant, mais en donnant son complément, son inverse ou son contraire. Dans son chapitre sur la structure mathématique des treillis logiques (Pages 62-3), Rivenc nous indique les travaux de Dunn publiés en 1986 : 
« Les deux diagrammes suivants représentent respectivement : 1) un treillis de De Morgan à quatre éléments, le treillis 4. On observera que le premier possède une propriété remarquable : a et b sont identiques à leurs images par l'opération – [négation] (autrement dit, l'opération – a des points fixes). 
  

2) une algèbre de Boole à 4 éléments :

  »

Notons que la représentation graphique du treillis 4 est intermédiaire entre le carré d’Aristote et le losange de Guénon. La valeur 1 correspond au plus grand élément, et la valeur 0 au plus petit élément de vérité. Non seulement cela est cohérent avec les positions respectives de la Nécessité et de la Contingence, mais le choix de l’unité est également cohérent avec son attribution dans la Grande Triade.


Note : Rivenc aborde ensuite le sujet d’une sémantique à quatre valeurs de vérité. Nous reviendrons sur ce point après notre proposition de formalisation de logique tétravalente.


Nous avons à trancher entre 2 possibilités :
  • soit le contradictoire du possible est le possible, et le contradictoire de l’impossible est l’impossible (cas 1, négation dite de De Morgan) ;
  • soit le contradictoire du possible est l’impossible, et le contradictoire de l’impossible est le possible (cas 2, négation booléenne).

Nous retenons le cas 2 par cohérence sémantique, mais aussi par respect des oppositions mises en évidence par la Triade. La table de vérité de l’opération négation notée ¬ est donc :


Nous pouvons vérifier que ¬(¬(p)) = p : la double négation d’une proposition ou involution peut se simplifier et donne la valeur de vérité de la proposition p.


Note : Le signe de l’égalité signifie que les valeurs de vérité des propositions de part et d’autre du signe = sont équivalentes dans chaque cas. Cette relation d’équivalence a = b peut s’exprimer également comme les vérifications simultanées de l’implication matérielle directe a → b et de l’implication matérielle réciproque a ← b (à ne pas confondre avec l’implication contraposée).


Au passage, définissons l’opération d’identité logique d’une proposition p notée (p), qui redonne sa valeur de vérité initiale :


Il est possible de définir 4 autres opérations unaires (ne requérant qu'un seul argument ou opérande) : Contingence, Possibilité, Impossibilité, Nécessité. Ces opérations, pour toute valeur de vérité de p, rendent un résultat respectivement Contingent, Possible, Impossible, Nécessaire. Nous ne nous servirons pas de ces opérations dans cet article.

La principale difficulté pour le calcul propositionnel du premier ordre est d’établir les tables de vérité des opérations logiques de conjonction extensionnelle ET, notée AND ou ∧, et de disjonction extensionnelle OU, notée OR ou ∨.

L’utilisation de la négation booléenne implique que notre treillis 4 de De Morgan devient une algèbre de Boole, i.e. un treillis distributif complémenté avec un plus petit élément 0 = p ¬p = Contingent pour tous p et q, et un plus grand élément 1 = p ¬p = Nécessaire pour tous p et q.
Cette dernière formule est la fonction exprimant le tiers exclu. Pour autant nous verrons dans la dernière partie que nous ne faisons pas correspondre sémantiquement la Nécessité et la valeur VRAI.

Notre proposition est de considérer l’opération ∧ comme donnant l’intersection entre les valeurs de vérité, ou le résultat minimum. L’échelle entre les valeurs de vérité provient des propriétés du treillis 4 et de la Triade : Nécessaire est la valeur la plus grande, Contingent la plus petite ; Contingent est issu de Possible et d’Impossible, lesquels proviennent de Nécessaire.


Nous considérons ensuite l’opération ∨ comme donnant l’union entre les valeurs de vérité, ou le résultat maximum. Comme vu ci-avant, l’échelle entre les valeurs de vérité provient des propriétés du treillis 4 et de la Triade : Nécessaire est la valeur la plus grande, Contingent la plus petite ; Possible et Impossible sont issus de Nécessaire.




Propriétés du treillis logique :

Un treillis T est un ensemble non vide muni de deux opérations ⋀ et ⋁, satisfaisant les propriétés suivantes (a, b et c sont dans notre cas des propositions vérifiant l’une des 4 valeurs de vérité) :

Idempotence :
a ⋀ a = a                    a ⋁ a = a  

Commutativité :
a ⋀ b = b ⋀ a             a ⋁ b = b ⋁ a  

Absorption :
a ⋀ (a ⋁ b) = a          a ⋁ (a ⋀ b) = a
que l’on peut démontrer par les tables de vérité :



Associativité :
a ⋀ (b ⋀ c) = (a ⋀ b) ⋀ c = a ⋀ b ⋀ c
a ⋁ (b ⋁ c) = (a ⋁ b) ⋁ c = a ⋁ b ⋁ c  

Un treillis distributif est un treillis satisfaisant les deux lois suivantes de distributivité (ici à gauche) qui s'impliquent mutuellement :
a ⋀ (b ⋁ c) = (a ⋀ b) ⋁ (a ⋀ c)
a ⋁ (b ⋀ c) = (a ⋁ b) ⋀ (a ⋁ c)
La distributivité à droite se vérifie également.

On peut vérifier que les propriétés suivantes sont aussi valables pour le treillis 4 de notre logique tétravalente :

Eléments neutres et bornes supérieures / inférieures :
a ⋁ Contingent = a (que l’on peut noter a + 0 = a)
a ⋁ Nécessaire = Nécessaire (que l’on peut noter a + 1 = 1)
a ⋀ Nécessaire = a (que l’on peut noter a . 1 = a)
a ⋀ Contingent = Contingent (que l’on peut noter a . 0 = 0)

Simplification :
a ⋁ (¬a ⋀ b) = (a ⋁ ¬a) ⋀ (a ⋁ b) = Nécessaire ⋀ (a ⋁ b) = a ⋁ b
a ⋀ (¬a ⋁ b) = (a ⋀ ¬a) ⋁ (a ⋀ b) = Contingent ⋁ (a ⋀ b) = a ⋀ b

(a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c) ⋁ (b ⋀ c) = (a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c)

Démonstration :
(a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c) ⋁ (b ⋀ c)                                           (1)
= (a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c) ⋁ ((a ⋁ ¬a) ⋀ (b ⋀ c))
= (a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c) ⋁ (a ⋀ (b ⋀ c)) ⋁ (¬a ⋀ (b ⋀ c))
= (a ⋀ b) ⋁ (a ⋀ b ⋀ c) ⋁ (¬a ⋀ c) ⋁ (¬a ⋀ b ⋀ c)
Sachant que a ⋁ (a ⋀ b) = a                                          (Absorption)
(a ⋀ b) ⋁ (a ⋀ b ⋀ c) = (a ⋀ b)
(¬a ⋀ c) ⋁ (¬a ⋀ b ⋀ c) = (¬a ⋀ c)
donc (1) = (a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c)


Ces deux opérations sont ensuite utilisées pour établir les valeurs de vérité de la fonction NON-OU, notée NOR ou ↓, et qui est explicitée par la formule ¬(p ∨ q) :


La fonction NON-ET, notée NAND ou ↑, est explicitée par la formule ¬(p ⋀ q) :


A l’aide de ces deux fonctions, on vérifie de plus que les deux relations de De Morgan sont vérifiées :
¬(p ⋀ q) = ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) = ¬p ¬q

La fonction de disjonction exclusive « OU exclusif », notée XOR ou , est explicitée par la formule (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).
Son inverse, la fonction « NON-OU exclusif », notée XNOR ou , est explicitée par la formule ¬(p q)


Ensuite, viennent les relations d’inférence : 
  • implication matérielle directe « si p a telle valeur de vérité alors q a la valeur de vérité que voici » notée p → q qui est logiquement équivalente à la fonction ¬p ∨ q,
  • la fonction réciproque « (alors)… si... » notée p ← q, 
  • et leurs négations respectives.

A l'aide de ces relations, nous pouvons vérifier les propriétés suivantes :

p → p c'est-à-dire  ¬p ∨ p dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tout p.

Simplification : 
De p ∧ q, on peut inférer p. Cette proposition peut s'écrire :
(p ∧ q) → p c'est-à-dire  ¬(p ∧ q) ∨ p c'est-à-dire NAND(p,q) ∨ p dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q.

De p ∧ q, on peut inférer q. Cette proposition peut s'écrire :
(p ∧ q) → q c'est-à-dire ¬(p ∧ q) ∨ q c'est-à-dire NAND(p,q) ∨ q dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q.

ou-Introduction :
De p, on peut inférer « p ou q ». Cette proposition peut s'écrire :
p → p ∨ q c'est-à-dire ¬p ∨ (p ∨ q) c'est-à-dire ¬p ∨ p ∨ q dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q.

Syllogisme disjonctif (modus ponens) : 
De p ou q, et de ¬p, on peut inférer q. En logique classique, pour la valeur VRAI, on l’exprime sous la forme : si d’une part, soit p est vrai soit q est vrai, et d’autre part ¬p est vrai, alors q est vrai. 
Cette proposition peut s'écrire : ¬p ∧ (p ∨ q) → q  

Si on développe d’abord le terme de gauche :
¬p ∧ (p ∨ q) → q c'est-à-dire (¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ q) → q c'est-à-dire ¬p ∧ q → q c'est-à-dire ¬(¬p ∧ q) ∨ q c'est-à-dire p ∨ ¬q ∨ q c'est-à-dire p ∨ Nécessaire dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q.

Affaiblissement, ou « paradoxe » de l'implication matérielle :
On peut déduire de la valeur de vérité de p, que si q, alors p. Cette proposition peut s'écrire :
p → (q → p) c'est-à-dire  p → (¬q ∨ p) c'est-à-dire ¬p ∨ ¬q ∨ p c'est-à-dire Nécessaire ∨ ¬q dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q. 

Loi de Peirce :
((p → q) → p) → p  c’est-à-dire ¬((p → q) → p) ∨ p c’est-à-dire ¬(¬(p → q) ∨ p) ∨ p c’est-à-dire ¬(¬(¬p ∨ q) ∨ p) ∨ p c’est-à-dire ¬(( p ⋀ ¬q) ∨ p) ∨ p c’est-à-dire ¬(( p ∨ p) ⋀(p ∨ ¬q)) ∨ p c’est-à-dire ¬( p ∨ p) ∨ ¬(p ∨ ¬q) ∨ p c’est-à-dire ¬p ∨ ¬(p ∨ ¬q) ∨ p c’est-à-dire Nécessaire ∨ ¬(p ∨ ¬q) dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q.


Note :
Cette loi exprimée de façon plus particulière pour devenir valable en logique pertinente, qui est fondée sur la négation de De Morgan, n’est pas vérifiée dans le cadre de notre logique tétravalente booléenne pour tous p,q :
(p → q) → (((p → q) → p) → p) 
= (¬p ∨ q) → (((p → q) → p) → p)
= ¬(¬p ∨ q) ∨ (((p → q) → p) → p)
= ¬(¬p ∨ q) ∨ (((¬p ∨ q) → p) → p)
= (p ∧ ¬q) ∨ (¬(¬(¬p ∨ q) ∨ p) ∨ p)
= (p ∧ ¬q) ∨ (¬((¬p ∧ ¬q) ∨ p) ∨ p)
= (p ∧ ¬q) ∨ ((¬p ∧ ¬q ∧ ¬p) ∨ p)
= (p ∧ ¬q) ∨ ((¬p ∧ ¬q) ∨ p)
= (p ∧ ¬q) ∨ ((¬p ∨ p) ∧ (¬q ∨ p))
= (p ∧ ¬q) ∨ (Nécessaire ∧ (¬q ∨ p))
= (p ∧ ¬q) ∨ (p ∨ ¬q)
La table de vérité pour cette dernière formule est la suivante :




Contraction :
(p  (p  q))  (p  q)
= (p → (¬p ∨ q)) → (¬p ∨ q)
= ¬(p → (¬p ∨ q)) ∨ (¬p ∨ q)
= ¬(¬p ∨ (¬p ∨ q)) ∨ (¬p ∨ q)
= (p ∧ ¬(¬p ∨ q)) ∨ (¬p ∨ q)
= (p ∧ (p ∧ ¬q)) ∨ (¬p ∨ q)
= (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)
La table de vérité de cette dernière formule est la suivante. On vérifie qu'elle est Nécessaire (nécessairement vrai) pour tous p,q.




Transitivité :
(p  q)  ((q  r)  (p  r))
= (¬p ∨ q) → ((¬q ∨ r) → (¬p ∨ r))
= ¬(¬p ∨ q) ∨ (¬(¬q ∨ r) ∨ (¬p ∨ r))
= (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∨ r)
= (((p ∧ ¬q) ∨ q) ∧ ((p ∧ ¬q) ∨ ¬r)) ∨ (¬p ∨ r)
= ((p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬q) ∧ (p ∨ ¬r) ∧ (¬q ∨ ¬r)) ∨ (¬p ∨ r)
= ((p ∨ q) ∧ Nécessaire ∧ (p ∨ ¬r) ∧ (¬q ∨ ¬r)) ∨ (¬p ∨ r)
= ((p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬r) ∧ (p ∨ ¬r)) ∨ (¬p ∨ r)
= (p ∨ q ∨ ¬p ∨ r) ∧ (¬q ∨ ¬r ∨ ¬p ∨ r) ∧ (p ∨ ¬r ∨ ¬p ∨ r) 
= Nécessaire ∧ Nécessaire ∧ Nécessaire dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q.

On a vérifié au passage la relation :
(p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r) ∧ (r ∨ p)

Enfin, la fonction d’équivalence logique, notée = ou ↔, est explicitée par la formule (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p).
Son inverse, la fonction de non-équivalence notée ≠ ou ¬(↔), est explicitée par la formule ¬(p ↔ q). 


A des fins d'explication et de comparaison, nous avons placé dans la dernière colonne de cette table la valeur vraie (V) si les valeurs pour p et q sont identiques, et fausse (F) sinon. On vérifie que la valeur vraie correspond aux cas où l'équivalence p ↔ q a la plus haute valeur de vérité dans notre logique tétravalente, c'est-à-dire Nécessaire.

Il est intéressant de voir les cas pour lesquels la valeur de vérité de l’équivalence p ↔ q n’est pas Nécessaire. On peut alors juger des multiples niveaux de fausseté. La logique binaire classique doit être comprise comme une dégénérescence de la logique tétravalente, au sens utilisé en physique et au sens épistémologique tel que souligné par Guénon.

Puisque l’on a vérifié précédemment p → p, on vérifie aussi la tautologie p ↔ p ainsi que p ← p.

La fonction de non-équivalence est logiquement équivalente à la fonction XOR.
¬(p ↔ q) = (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) = XOR(p,q) 
Démonstration :
¬(p ↔ q) = ¬((p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)) 
= ¬(p ∧ q) ∧ ¬(¬p ∧ ¬q) 
= (¬p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q) 
= (¬p ∧ (p ∨ q)) ∨ (¬q ∧ (p ∨ q)) 
= ((¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ q)) ∨ ((¬q ∧ p) ∨ (¬q ∧ q)) 
= (Contingent ∨ (¬p ∧ q)) ∨ ((¬q ∧ p) ∨ Contingent) 
= (¬p ∧ q) ∨ (¬q ∧ p) qui est la définition de la fonction XOR

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