Conscience Sociale

2017/11/14

Logique tétravalente (Partie 2)

"Once again, it seems that there is a threshold for complex behavior - that is reached as soon as one has at least four states."
(Stephen Wolfram, A new kind of science)

Introduction

Nous avions terminé la partie 1 en citant G.G. Granger. Continuons avec lui. Page 30 de Sciences et réalité il notait : « la théorie kripkéenne ne saurait servir à interpréter la syllogistique modale d’Aristote, en particulier dans la mesure où les modalités kripkéennes sont des opérations de propositions, itérables et combinables entre eux, ce que ne sont jamais les modalités d’Aristote, pour qui la « nécessité du possible » par exemple semble dépourvue de sens. » C’est le moment d’introduire notre proposition de calcul formel propositionnel en logique tétravalente, pour tenter de combler ce manque. L'autre sujet sur le sens sémantique d'une telle logique sera traité dans une autre partie.

L’ouvrage de François Rivenc, Introduction à la logique pertinente (P.U.F., 2005), nous offre un état de l’art détaillé des structures des logiques alternatives à la logique binaire classique. Dans sa préface, l’auteur écrit : « L'idée est sans doute que la logique est le domaine de la rigueur absolue, des preuves impeccables : comment discuter ce qui légifère sur les conséquences nécessaires de vérités elles-mêmes nécessaires ? D'où la tentation d'utiliser de manière parfois absurde ses « résultats », dès lors qu'ils paraissent profonds, et de nature à conforter une vision philosophique. [...] il faut avouer que la manière dont la logique est enseignée dans les départements de philosophie porte une part de responsabilité dans cet état de choses. À l'opposé de l'esprit d'exploration et de remise en question, qui est censé être le lot de l'enseignement philosophique (je dis bien censé), la logique est présentée de manière beaucoup trop dogmatique. » C’est le premier piège qu’avertis nous essaierons d’éviter. Mais il poursuit : « Mais du point de vue conceptuel, ne faudrait-il pas au moins situer [la logique] ? Clarifier les choix qui ont présidé à sa construction, et qui doivent être évalués ? Comment réagir, par exemple, à la foisonnante pluralité des systèmes logiques d'aujourd'hui ? »
Nous repartirons dans ce document précisément de l’endroit où Rivenc et les autres auteurs cités se sont arrêtés dans leurs brèves mentions de l’existence d’une logique à 4 valeurs de vérité, et nous démontrerons dans ce nouveau cadre toutes les relations déjà connues pour la logique booléenne binaire.

Définitions pour le calcul propositionnel

Une proposition p est composée d'un ou plusieurs termes qui ont un sens dans le langage naturel ou mathématique ou en logique. L’évaluation logique d’une proposition donnée ne présente qu’une seule valeur de vérité parmi les quatre définies par le système logique qui nous intéresse ici. Nous utiliserons la notation p pour exprimer indifféremment une proposition ou la valeur de vérité résultante de son évaluation. Aucune hypothèse n’est prise sur le niveau de complexité (ou d’atomicité) de la proposition p.
Une formule est composée d'une ou plusieurs propositions p, q, r, s reliées par une ou plusieurs opérations logiques. Ces opérations sont symbolisées par des connecteurs. L’évaluation d’une formule donnée ne donne qu’une seule valeur de vérité parmi les quatre que nous considérons ici. Ainsi, une formule peut tenir le rôle d'une proposition dans une autre formule.
Une formule est dite être une tautologie si sa valeur résultante de vérité est Nécessaire pour toute assignation de valeur de vérité à chacune de ses propositions.
Une formule est dite être une contingence ou également une contradiction si sa valeur résultante de vérité est Contingent pour toute assignation de valeur de vérité à chacune de ses propositions.
Une formule qui n'est ni une tautologie ni une contradiction est appelée ici une potentialité. Elle est appelée contingence en logique bivalente ; c’est un terme que nous ne retenons pas pour notre système de logique tétravalente.
Les formules seront exprimées en tautologies ou en théorèmes de la logique propositionnelle.
Les opérations opérations fondamentales (identité, négation, conjonction, disjonction) sont introduites et définies sous forme de tables de vérité. Il est possible à la place d’introduire les connecteurs en utilisant la notation métalogique du calcul des séquents, mais celle-ci apporterait peu à notre présent propos et diminuerait fortement sa lisibilité.

Les opérations nullaires

Notre proposition de « réaction à la foisonnante pluralité des systèmes logiques » est de poursuivre la perspective de Guénon décrite dans la première partie de ce livre et de formaliser une logique tétravalente, à quatre valeurs de vérité que nous continuerons de nommer selon la tradition : Nécessaire, Possible, Impossible et Contingent. Précisons qu’il ne s’agit pas pour nous de modalités mais des valeurs de vérité à part entière, ou des états d’être si l’on veut prolonger le lien avec la métaphysique. Nous verrons plus loin que la pertinence de la configuration décrite par Guénon ne se limite pas à l’identification de la structure quaternaire.

Dans certains systèmes logiques, il est coutumier d’utiliser des symboles particuliers pour les opérations nullaires : ⊤ pour la tautologie (i.e. valeur Nécessaire), et ⊥ pour représenter la contradiction (i.e. valeur Contingent). Nous n’avons pas défini dans cet essai de symbole additionnel pour les opérateurs nullaires Possible et Impossible. Par souci de notation homogène, nous n’utiliserons que les notations Nécessaire, Possible, Impossible et Contingent.

Les opérations unaires

Définissons pour commencer l’opération d’identité logique d’une proposition p notée (p), qui redonne sa valeur de vérité initiale :

Il est possible de définir 4 autres opérations unaires : Contingence(p), Possibilité(p), Impossibilité(p), Nécessité(p). Ces opérations, pour toute valeur de vérité de p, rendent un résultat respectivement Contingent, Possible, Impossible, Nécessaire.

La négation en logique tétravalente

L’intérêt principal du développement des logiques formelles depuis un siècle a été de montrer que « Le problème vient du fait qu'on peut caractériser autrement la négation, en termes de modèles, et que la « négation sémantique forte », liée aux Principes du Tiers exclu et de non contradiction, n'apparaît plus que comme une négation parmi d'autres. » (François Rivenc, Introduction à la logique pertinente, Pp. 151) Pour les logiciens, la question de savoir quelle est la vraie négation (la plus proche de la réalité) est encore ouverte, aussi étonnant que cela puisse paraître pour les autres.

Nous commençons donc par définir l’opérateur de négation. Notons tout d’abord que dans la logique classique booléenne, cette opération ne transforme pas une proposition en la niant, mais en donnant son complément, son inverse ou son contraire. Dans le chapitre sur la structure mathématique des treillis logiques, l'ouvrage de Rivenc précédemment mentionné (pages 62-63 ; voir aussi G. Epstein, Multiple-Valued Logic Design: an Introduction (29 sept. 2017), en particulier §3.6.4) nous indique les travaux de Dunn publiés en 1986 :

« Les deux diagrammes suivants représentent respectivement : 1) un treillis de De Morgan à quatre éléments, appelé treillis 4. On observera que celui-ci possède une propriété remarquable : a et b sont identiques à leurs images par l'opération notée – (autrement dit, l'opération – [c'est-à-dire la négation] présente des points fixes).

2) une algèbre de Boole à 4 éléments :

Notons que la représentation graphique du treillis 4 est intermédiaire entre le carré d’Aristote et le losange de Guénon. La valeur 1 correspond au plus grand élément, et la valeur 0 au plus petit élément de vérité. Non seulement cela est cohérent avec les positions respectives de la Nécessité et de la Contingence, mais le choix de l’unité est également cohérent avec son attribution dans la Grande Triade.

Note : Rivenc aborde ensuite le sujet d’une sémantique à quatre valeurs de vérité. Nous reviendrons sur ce point dans une prochaine partie. La présente partie est dédiée à notre formalisation de la logique tétravalente.

Nous avons à trancher entre deux possibilités :

soit le contradictoire du possible est le possible, et le contradictoire de l’impossible est l’impossible (cas 1, négation dite de De Morgan) ;
soit le contradictoire du possible est l’impossible, et le contradictoire de l’impossible est le possible (cas 2, négation booléenne).

Nous retenons le cas 2 par cohérence sémantique, mais aussi par respect des oppositions mises en évidence par la Triade. La table de vérité de l’opération négation notée ¬ est donc la série de définitions suivantes :

Négation des opérations unaires

Nous pouvons vérifier par la table de vérité précédente que la formule ¬(¬(p)) = p est une tautologie , c'est-à-dire que la formule ¬(¬(p)) donne la valeur de vérité de p, pour toute valeur de vérité de p. La double négation d’une proposition p, ou involution d'ordre 2, peut se simplifier et donne la valeur de vérité de la proposition p. En logique intuitionniste, cette équivalence n'est pas vérifiée.

Note : Le signe de l’égalité signifie que les valeurs de vérité des propositions de part et d’autre du signe = sont équivalentes dans chaque cas considéré. Cette relation d’équivalence p = q peut s’exprimer également comme les vérifications simultanées de l’implication matérielle directe p → q et de l’implication matérielle réciproque p ← q (à ne pas confondre avec l’implication contraposée). Ces relations d'implication et d'équivalence sont développées ci-après.

La table de vérité de l'opération négation peut servir à vérifier les tautologies des opérations unaires :

Contingence(p) = ¬(Nécessité(p))
Possibilité(p) = ¬(Impossibilité(p))

Tables de vérité de la conjonction et de la disjonction en logique tétravalente

La principale difficulté pour le calcul propositionnel du premier ordre en logique tétravalente est d’établir les tables de vérité des opérations logiques de conjonction extensionnelle ET, notée soit AND soit ∧, et de disjonction extensionnelle OU, notée soit OR soit ∨. Ce sont des opérations à deux opérandes.

Notre proposition est de considérer maintenant l’opération ∧ comme donnant, par principe, l’intersection entre les valeurs de vérité des deux propositions, ou le résultat de vérité minimum. L’échelle entre les valeurs de vérité provient des propriétés du treillis 4 et de la Triade (définie dans la partie 1) : Nécessaire est la valeur la plus grande, Contingent la plus petite ; Contingent est issu de Possible et d’Impossible, lesquels proviennent de Nécessaire. La série d'axiomes est résumée par la table de vérité suivante :

Nous considérons ensuite l’opération ∨ comme donnant, par principe, l’union entre les valeurs de vérité, ou le résultat de vérité maximum. Avec cette opération, le résultat peut être soit p soit q, soit les deux à la fois. Comme vu ci-avant, l’échelle entre les valeurs de vérité provient des propriétés du treillis 4 et de la Triade : Nécessaire est la valeur la plus grande, Contingent la plus petite ; Possible et Impossible sont issus de Nécessaire. La série d'axiomes est résumée par la table de vérité suivante :

À la place de ces axiomes, il aurait été possible de définir l’opération disjonction p ∨ q comme résultant d’une combinaison de la négation et de la conjonction, avec la formule ¬(¬p ∧ ¬q). Cependant, ce choix aurait aussi entraîné les relations de De Morgan en tant que définitions, et non pas en tant que résultats. Nous préférons choisir les axiomes à partir de considérations issues de la Triade, comme expliqué, et vérifier ensuite si les relations de De Morgan sont vérifiées (voir ci-après).

Cette table de vérité, avec celle de la conjonction dans le cas d’un treillis à 4 valeurs de vérité partiellement ordonné, représentent un des cas dans le système général qui a été étudié pour la première fois par Alan Rose dans Systems of logic whose truth-values form lattices, (December 1951). Sa proposition de table de vérité pour l’implication et pour la négation obéit cependant à des définitions très différentes de la nôtre. Voir aussi Nicholas Rescher (1965) pour une approche intuitionniste, limitée aux tables de vérité de la négation et de la conjonction.
Dans le présent article nous établissons le calcul propositionnel en logique tétravalente booléenne, en complétant l'étude à partir de nos premières tables de vérité.

La logique tétravalente est une algèbre de Boole

Les éléments exposés jusqu'ici suffisent à démontrer que la négation de la formule "p et simultanément la négation de p" est une tautologie. En effet :

¬(p ∧ ¬p) = ¬(Contingent) = Nécessaire pour tous p.

De plus, on démontre de la même façon que la formule "p ou simultanément la négation de p" est une tautologie. En effet :

(p ∨ ¬p) = Nécessaire pour tous p.

L’utilisation de la négation booléenne implique que notre treillis 4 de De Morgan devient une algèbre de Boole, i.e. un treillis distributif complémenté avec :

un plus petit élément, noté soit 0 soit Contingent, aussi appelé plus basse valeur de vérité ; il est obtenu par la formule p ∧ ¬p pour tous p ;
et un plus grand élément, noté soit 1 soit Nécessaire, aussi appelé plus haute valeur de vérité ; il est obtenu par la formule p ∨ ¬p pour tous p.

Cette dernière formule est la fonction exprimant le tiers exclu. Pour autant, nous verrons de façon plus détaillée dans un autre article de cette série le rapport sémantique entre la Nécessité et la valeur VRAI utilisée dans la logique bivalente.

Propriétés du treillis logique en logique tétravalente booléenne

Un treillis T est un ensemble non vide muni de deux opérations ⋀ et ⋁, satisfaisant les propriétés suivantes que nous allons démontrer (a, b et c sont dans notre cas des propositions vérifiant l’une des 4 valeurs de vérité) :

Idempotence :

a ⋀ a = a a ⋁ a = a

Commutativité :

a ⋀ b = b ⋀ a a ⋁ b = b ⋁ a

Les 4 précédentes propriétés se démontrent à l'aide des tables de vérité présentées ci-avant.

Associativité :

a ⋀ (b ⋀ c) = (a ⋀ b) ⋀ c ; cette formule peut ainsi se noter par convention a ⋀ b ⋀ c

a ⋁ (b ⋁ c) = (a ⋁ b) ⋁ c ; cette formule peut ainsi se noter par convention a ⋁ b ⋁ c

La première relation est démontrée par la table de vérité suivante (équivalence des colonnes 5 et 7) :

La deuxième relation est démontrée par la table de vérité suivante (équivalence des colonnes 5 et 7) :

Distributivité :

Un treillis distributif est un treillis satisfaisant les deux lois suivantes de distributivité (ici à gauche) qui s'impliquent mutuellement :

a ⋀ (b ⋁ c) = (a ⋀ b) ⋁ (a ⋀ c)

a ⋁ (b ⋀ c) = (a ⋁ b) ⋀ (a ⋁ c)

On démontre la première formule dans notre cadre de tétravalence en utilisant les tables de vérité (ici par l'équivalence des colonnes 5 et 8) :

La distributivité à droite se vérifie également en logique tétravalente booléenne, au moyen des tables de vérité.

Absorption :
Les deux formules de l'absorption sont :
a ⋀ (a ⋁ b) = a a ⋁ (a ⋀ b) = a

On peut démontrer la première formule, comme les propriétés précédentes, en utilisant les tables de vérité (ici par l'équivalence des colonnes 2 et 4) :

De plus, a ⋀ (a ⋁ b) = (a ⋀ a) ⋁ (a ⋀ b) = a ⋁ (a ⋀ b) = a , donc la deuxième formule de l'absorption est démontrée.

Ces deux formules de l'absorption servent à démontrer que la première formule de la distributivité (celle de ⋀) implique la seconde (la distribution de ⋁). En effet:
1. (a ⋁ b) ⋀ (a ⋁ c)

2. (a ⋀ (a ⋁ c)) ⋁ (b ⋀ (a ⋁ c)) (distribution de ⋀)
3. (a ⋀ (a ⋁ c)) ⋁ (b ⋀ a) ⋁ (b ⋀ c)
4. a ⋁ (b ⋀ a) ⋁ (b ⋀ c) (absorption)
5. a ⋁ (b ⋀ c) (absorption)

On a donc vérifié que a ⋁ (b ⋀ c) = (a ⋁ b) ⋀ (a ⋁ c)

On peut aussi vérifier que les propriétés suivantes sont valables pour le treillis 4 de notre logique tétravalente :

Eléments neutres, bornes supérieure et inférieure :

a ⋁ Contingent = a (que l’on peut noter a + 0 = a)
a ⋁ Nécessaire = Nécessaire (que l’on peut noter a + 1 = 1)

a ⋀ Nécessaire = a (que l’on peut noter a . 1 = a)

a ⋀ Contingent = Contingent (que l’on peut noter a . 0 = 0)

Simplification :

a ⋁ (¬a ⋀ b) = a ⋁ b a ⋀ (¬a ⋁ b) = a ⋀ b

Démonstrations :
a ⋁ (¬a ⋀ b) = (a ⋁ ¬a) ⋀ (a ⋁ b) = Nécessaire ⋀ (a ⋁ b) = a ⋁ b

a ⋀ (¬a ⋁ b) = (a ⋀ ¬a) ⋁ (a ⋀ b) = Contingent ⋁ (a ⋀ b) = a ⋀ b

Théorème du consensus :

(a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c) ⋁ (b ⋀ c) = (a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c)

Démonstration :
1. (a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c) ⋁ (b ⋀ c)
2. (a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c) ⋁ ((a ⋁ ¬a) ⋀ (b ⋀ c))
3. (a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c) ⋁ (a ⋀ (b ⋀ c)) ⋁ (¬a ⋀ (b ⋀ c))
4. (a ⋀ b) ⋁ (a ⋀ b ⋀ c) ⋁ (¬a ⋀ c) ⋁ (¬a ⋀ b ⋀ c)
Par ailleurs,
5. (a ⋀ b) ⋁ (a ⋀ b ⋀ c) = (a ⋀ b) (absorption)
6. (¬a ⋀ c) ⋁ (¬a ⋀ b ⋀ c) = (¬a ⋀ c) (absorption)
7. donc (a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c) ⋁ (b ⋀ c) = (a ⋀ b) ⋁ (¬a ⋀ c)

Les opérations NOR et NAND et les relations de De Morgan

Les deux opérations AND et OR sont ensuite utilisées pour établir tout d'abord les valeurs de vérité de la fonction NON-OU, notée soit NOR soit ↓, et qui est explicitée par la formule ¬(p ∨ q) :

La fonction NON-ET, notée soit NAND soit ↑, est quant à elle explicitée par la formule ¬(p ⋀ q) :

A l’aide des tables de vérité des deux fonctions NAND et NOR, on vérifie de plus que les deux relations de De Morgan sont vérifiées :

¬(p ⋀ q) = ¬p ∨ ¬q

¬(p ∨ q) = ¬p ⋀ ¬q

Les opérations XOR et XNOR

La fonction de disjonction exclusive « OU exclusif », notée soit XOR soit ∨, est explicitée par la formule (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q). Avec cette opération, le résultat peut être p ou q, mais pas les deux à la fois.

Son inverse, la fonction « NON-OU exclusif », notée soit XNOR soit ∧, est explicitée par la formule ¬(p ∨ q)

Les relations d’inférence

Ensuite, viennent les relations d’inférence ou propositions conditionnelles :

implication matérielle directe qui est la relation « p infére q », « si p alors q », « p est la condition nécessaire à q », « pour q il faut que p », notée p → q , qui est logiquement équivalente à la fonction ¬p ∨ q, par axiome ;
la fonction réciproque « (alors) p si q », « q est la condition suffisante à p », « p seulement si q », « pour p il suffit que q », notée p ← q , qui est par définition la relation "q infère p", c'est-à-dire q → p = ¬q ∨ p ;
et leurs négations respectives.

Nous remarquons que la relation d'implication ne prend la valeur Contingent que dans le cas de la formule Nécessaire → Contingent, qui est similaire en logique bivalente à la formule VRAI → FAUX laquelle est évaluée à FAUX. Nous remarquons aussi que la relation d'implication en logique tétravalente prend la valeur Nécessaire (à rapprocher de VRAI) pour toute formule où soit p est Contingent, soit q est Nécessaire. Cependant, les implications en logique tétravalente ne sont pas limitées à ces cas, ce qui offre de toutes nouvelles perspectives de démonstration.

Propriétés fondamentales des relations d’inférence

A l'aide de ces opérations nous pouvons vérifier les propriétés suivantes, que nous démontrons en logique tétravalente :

p → p
En effet cette formule est équivalente à ¬p ∨ p dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p.

La formule p ↛ q de négation de l'implication est définie par ¬(p → q) = ¬(¬p ∨ q) = p ∧ ¬q.

Simplification :

De p et q, on peut inférer p. Ceci peut s'exprimer par la formule :
(p ∧ q) → p
c'est-à-dire ¬(p ∧ q) ∨ p c'est-à-dire NAND(p,q) ∨ p dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q (cf tables de vérité).

De p et q, on peut inférer q. Ceci peut s'exprimer par la formule :
(p ∧ q) → q
c'est-à-dire ¬(p ∧ q) ∨ q c'est-à-dire NAND(p,q) ∨ q dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q.

ou-Introduction :

De p, on peut inférer « p ou q ». Ceci peut s'exprimer par la formule :

p → (p ∨ q)
c'est-à-dire ¬p ∨ (p ∨ q) c'est-à-dire ¬p ∨ p ∨ q dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q.

Syllogisme disjonctif (modus ponens) :

De p ou q, et de la négation de p, on peut inférer q.
En logique classique, pour la valeur VRAI, on l’exprime sous la forme : si d’une part, soit p est VRAI soit q est VRAI, et d’autre part la négation de p est VRAI, alors q est VRAI.

Ceci peut s'exprimer par la formule :
¬p ∧ (p ∨ q) → q

En effet, si on développe d’abord le terme de gauche :

1. ¬p ∧ (p ∨ q) → q
2. (¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ q) → q
3. ¬p ∧ q → q
4. ¬(¬p ∧ q) ∨ q
5. p ∨ ¬q ∨ q
6. p ∨ Nécessaire
7. dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q

Affaiblissement, ou « paradoxe » de l'implication matérielle (axiome W1 de Lukasiewicz (1930))

Si p, alors q infère p. Ceci peut s'exprimer par la formule :

1. p → (q → p)
2. p → (¬q ∨ p)
3. ¬p ∨ ¬q ∨ p
4. Nécessaire ∨ ¬q
5. dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q

On peut de plus présenter cet affaiblissement sous la forme de la négation : Si la négation de p, alors p infère q.

1. ¬p → (p → q)
2. ¬p → (¬p ∨ q)
3. p ∨ ¬p ∨ q
4. Nécessaire ∨ q
5. dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q

Loi de Peirce :
Si la formule "p infère q" infère p, alors les conditions précédemment énoncées infèrent p. Cette loi peut s'exprimer par la formule :

1. ((p → q) → p) → p
2. ¬((p → q) → p) ∨ p
3. ¬(¬(p → q) ∨ p) ∨ p
4. ¬(¬(¬p ∨ q) ∨ p) ∨ p
5. ¬(( p ∧ ¬q) ∨ p) ∨ p
6. ¬(( p ∨ p) ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ p
7. ¬( p ∨ p) ∨ ¬(p ∨ ¬q) ∨ p
8. ¬p ∨ ¬(p ∨ ¬q) ∨ p
9. Nécessaire ∨ ¬(p ∨ ¬q)
10. dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q

Note :

Cette loi de Peirce exprimée de façon plus particulière pour devenir valable en logique pertinente, qui est fondée sur la négation de De Morgan, est elle aussi vérifiée dans le cadre de notre logique tétravalente booléenne pour tous p,q :

1. (p → q) → (((p → q) → p) → p)

2. (¬p ∨ q) → a , en notant a la formule (((p → q) → p) → p)

3. ¬(¬p ∨ q) ∨ a

4. ¬(¬p ∨ q) ∨ Nécessaire , car la valeur de vérité de a est Nécessaire pour tous p,q (cf Loi de Peirce)

5. Nécessaire pour tous p,q

Contraction dans le cas de 2 prémisses identiques pour une inférence :
1. (p → (p → q)) → (p → q)
2. (p → (¬p ∨ q)) → (¬p ∨ q)
3. ¬(p → (¬p ∨ q)) ∨ (¬p ∨ q)
4. ¬(¬p ∨ (¬p ∨ q)) ∨ (¬p ∨ q)
5. (p ∧ ¬(¬p ∨ q)) ∨ (¬p ∨ q)
6. (p ∧ (p ∧ ¬q)) ∨ (¬p ∨ q)
7. (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)
8. ¬q ∨ ¬p ∨ q
9. Nécessaire pour tous p,q

Substitution dans l'inférence :
1. ((p → q) ⋀ (p → p)) → (p → (p → q))
2. ¬((¬p ∨ q) ⋀ (¬p ∨ p)) ∨ (¬p ∨ (¬p ∨ q))
3. (p ⋀ ¬q) ∨ ¬p ∨ q
4. ((p ∨ ¬p) ⋀ (¬q ∨ ¬p)) ∨ q
5. ¬q ∨ ¬p ∨ q
6. Nécessaire pour tous p,q

Transitivité : Si p infère q, alors, si q infère r alors p infère r. (axiome W2 de Lukasiewicz (1930))

1. (p → q) → ((q → r) → (p → r))
2. (¬p ∨ q) → ((¬q ∨ r) → (¬p ∨ r))
3. ¬(¬p ∨ q) ∨ (¬(¬q ∨ r) ∨ (¬p ∨ r))
4. (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∨ r)
5. (((p ∧ ¬q) ∨ q) ∧ ((p ∧ ¬q) ∨ ¬r)) ∨ (¬p ∨ r)
6. ((p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬q) ∧ (p ∨ ¬r) ∧ (¬q ∨ ¬r)) ∨ (¬p ∨ r)
7. ((p ∨ q) ∧ Nécessaire ∧ (p ∨ ¬r) ∧ (¬q ∨ ¬r)) ∨ (¬p ∨ r)
8. ((p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬r) ∧ (p ∨ ¬r)) ∨ (¬p ∨ r)
9. (p ∨ q ∨ ¬p ∨ r) ∧ (¬q ∨ ¬r ∨ ¬p ∨ r) ∧ (p ∨ ¬r ∨ ¬p ∨ r)

10. Nécessaire ∧ Nécessaire ∧ Nécessaire
11. dont la valeur de vérité est Nécessaire pour tous p,q

On vérifie de plus, en comparant les relations des étapes 4 et 8 et en réduisant ¬r à r puisque seul ¬r apparaît après le retrait de la proposition (¬p ∨ r), l’équivalence pour tous p,q entre les propositions

(p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ r) et (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r) ∧ (r ∨ p)

Axiome W4 de Wajsberg (1931) :
1. ((p → ¬p) → p) → p
2. ¬ (¬ (¬p ∨ p) ∨ p) ∨ p
3. ¬ (¬ (Nécessaire) ∨ p) ∨ p
4. ¬ (p) ∨ p
5. Nécessaire pour tous p

L’équivalence logique

Enfin, la fonction d’équivalence logique ("p si et seulement si q"), notée soit = soit ↔, est obtenue quand l'implication directe (la première proposition infère la seconde) est vérifiée en même temps que l'implication réciproque (la seconde proposition infère la première). Elle est explicitée par la formule (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p).

Démonstration :
1. (p ↔ q) ↔ (p → q) ∧ (p ← q)
2. (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)
3. (¬p ∧ (¬q ∨ p)) ∨ (q ∧ (¬q ∨ p))
4. ((¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ p)) ∨ ((q ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p))
5. (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p)
6. donc (p ↔ q) ↔ (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p) pour tous p,q

La fonction de non-équivalence, notée soit ≠ soit ↮ , est explicitée par la formule ¬(p ↔ q).

A des fins d'explication et de comparaison avec la logique binaire, nous avons de plus placé dans la dernière colonne de cette table la valeur VRAI (V) si les valeurs pour p et q sont identiques, et FAUX (F) sinon. On vérifie que la valeur VRAI correspond aux cas où l'équivalence p ↔ q a la plus haute valeur de vérité dans notre logique tétravalente, c'est-à-dire Nécessaire.

Il est intéressant de voir les cas pour lesquels la valeur de vérité de l’équivalence p ↔ q n’a pas la valeur Nécessaire. On peut alors juger des multiples niveaux de fausseté (ou de vérité dégradée) que la logique tétravalente permet formellement de prendre en compte. La logique binaire classique doit être comprise comme une dégénérescence de la logique tétravalente, au sens utilisé en physique et au sens épistémologique tel que souligné par Guénon.

Propriétés fondamentales de l’équivalence logique

De la même façon que l’on a vérifié précédemment "si p alors p" (p → p), on vérifie aussi les formules pour tous p :

p ↔ p , c'est-à-dire "p est logiquement équivalent à p" est une tautologie. En effet (p ↔ q) = (p ∧ p) ∨ (¬p ∧ ¬p) = p ∨ ¬p = Nécessaire pour tous p ;
p ← p , c'est-à-dire "p si p" est une tautologie. En effet p ← p = ¬p ∨ p = Nécessaire pour tous p ;
p ↔ (¬p → p) , c'est-à-dire p est logiquement équivalent à la négation de p, laquelle infère p. En effet (¬p → p) = p ∨ p = p , pour tous p ;
¬p ↔ (p → ¬p) , c'est-à-dire la négation de p est logiquement équivalente à "p infère sa négation". En effet (p → ¬p) = ¬p ∨ ¬p = ¬p , pour tous p ;
¬p ↔ ¬(¬p → p) , c'est-à-dire la négation de p est logiquement équivalente à la négation de la formule "la négation de p infère p". En effet ¬(¬p → p) = ¬(p ∨ p) = ¬p , pour tous p ;

La fonction de non-équivalence logique est logiquement équivalente à la fonction XOR pour tous p,q.

¬(p ↔ q) ↔ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) c'est-à-dire XOR(p,q)

Démonstration :

1. ¬(p ↔ q)
2. ¬((p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q))

3. ¬(p ∧ q) ∧ ¬(¬p ∧ ¬q)

4. (¬p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q)

5. (¬p ∧ (p ∨ q)) ∨ (¬q ∧ (p ∨ q))

6. ((¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ q)) ∨ ((¬q ∧ p) ∨ (¬q ∧ q))

7. (Contingent ∨ (¬p ∧ q)) ∨ ((¬q ∧ p) ∨ Contingent)

8. (¬p ∧ q) ∨ (¬q ∧ p) qui est la définition de la fonction XOR pour tous p,q

La formule "p équivalent à q" est équivalente à la formule "la négation de p est équivalente à la négation de q".

(p ↔ q) ↔ (¬p ↔ ¬q)

Démonstration :
1. (¬p ↔ ¬q)
2. (¬p ∧ ¬q) ∨ (¬(¬q) ∧ ¬(¬p))
3. (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p)
4. (p ↔ q) pour tous p,q

Axiome L5 de Lukasiewicz (1930) :
1. ((p → q) → (q → p)) → (q → p)
2. ¬(¬ (¬p ∨ q) ∨ (¬q ∨ p)) ∨ (¬q ∨ p)
3. ¬((p ∧ ¬q) ∨ (¬q ∨ p)) ∨ (¬q ∨ p)
4. (¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬(¬q ∨ p)) ∨ (¬q ∨ p)
5. ¬p ∨ q ∨ (q ∧ ¬p) ∨ ¬q ∨ p
6. (q ∧ ¬p) ∨ Nécessaire
7. Nécessaire pour tous p,q

Les syllogismes fondamentaux

Cinq syllogismes fondamentaux jouent le rôle de propositions premières dans un système de résolution par logique déductive, dès qu’ils ont été transformés en des propositions de forme implicative. Ils sont démontrés ci-après en logique tétravalente.

a1) Si d’une part p infère q, et d’autre part p, alors q. (modus ponens)
1. ((p → q) ∧ p) → q
2. ¬((¬p ∨ q) ∧ p) ∨ q
3. ¬((¬p ∧ p) ∨ (q ∧ p)) ∨ q
4. ¬(Contingent ∨ (q ∧ p)) ∨ q
5. ¬(q ∧ p) ∨ q
6. ¬p ∨ ¬q ∨ q
7. Nécessaire pour tous p,q

a2) Ne pas confondre ce syllogisme avec l'équivalence suivante :
((p → q) → p) ↔ (p ∧ (q → p))

Démonstration :
1. ((p → q) → p)
2. ¬(¬p ∨ q) ∨ p
3. (p ∧ ¬q) ∨ p
4. p ∧ (¬q ∨ p)
5. p ∧ (q → p)

b) Si d’une part p infère q, et d’autre part la négation de q, alors la négation de p. (modus tollens)
1. ((p → q) ∧ ¬q) → ¬p
2. ¬((¬p ∨ q) ∧ ¬q) ∨ ¬p
3. ¬((¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q)) ∨ ¬p
4. ¬(¬p ∧ ¬q) ∨ ¬p
5. p ∨ q ∨ ¬p
6. Nécessaire pour tous p,q

c) Si d’une part la négation de la formule "p et simultanément q", et d’autre part p, alors la négation de q.
1. (¬(p ∧ q) ∧ p) → ¬q
2. ¬((¬p ∨ ¬q) ∧ p) ∨ ¬q
3. ¬((¬p ∧ p) ∨ (¬q ∧ p)) ∨ ¬q
4. ¬(¬q ∧ p) ∨ ¬q
5. q ∨ ¬p ∨ ¬q
6. Nécessaire pour tous p,q

d) Si d’une part la proposition p ou la proposition q, et d’autre part p, alors la négation de q.
1. ((p ∨ q) ∧ p) → ¬q
2. ¬(((p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)) ∧ p) ∨ ¬q
3. ¬(((p ∧ ¬q) ∧ p) ∨ ((¬p ∧ q) ⋀ p)) ∨ ¬q
4. ¬(p ∧ ¬q) ∨ q ∨ ¬q
5. ¬(p ∧ ¬q) ∨ Nécessaire
6. Nécessaire pour tous p,q

e) Si d’une part la proposition p ou la proposition q, et d’autre part la négation de q, alors p.
1. ((p ∨ q) ∧ ¬q) → p
2. ¬(((p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)) ⋀ ¬q) ∨ p
3. ¬(((p ∧ ¬q) ⋀ ¬q) ∨ ((¬p ∧ q) ⋀ ¬q)) ∨ p
4. ¬((p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q ⋀ ¬q)) ∨ p
5. ¬(p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ p
6. Nécessaire pour tous p,q

Autres tautologies à considérer avec les inférences

f1) La formule "p infère q" ou "p infère la négation de q" est une tautologie.
1. (p → q) ∨ (p → ¬q)
2. (¬p ∨ q) ∨ (¬p ∨ ¬q)
3. ¬p ∨ q ∨ ¬p ∨ ¬q
4. Nécessaire pour tous p,q

f2) La formule "p infère q" ou "q infère p" est une tautologie.
1. (p → q) ∨ (q → p)
2. (¬p ∨ q) ∨ (¬q ∨ p)
3. ¬p ∨ q ∨ ¬q ∨ p
4. Nécessaire pour tous p,q

g) La formule "p infère q" ou la négation de q est une tautologie.

1. (p → q) ∨ ¬q
2. (¬p ∨ q) ∨ ¬q

3. Nécessaire pour tous p,q

h) La formule "p et simultanément q" infère l'équivalence des valeurs de vérité de p et de q.
1. (p ∧ q) → (p ↔ q)
2. ¬(p ∧ q) ∨ (p ↔ q)
3. ¬(p ∧ q) ∨ ((p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p))
4. ¬(p ∧ q) ∨ (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p)
5. Nécessaire pour tous p,q

i) La formule "négation de p et négation de q" infère l'équivalence des valeurs de vérité de p et de q.
1. (¬p ∧ ¬q) → (p ↔ q)
2. ¬(¬p ∧ ¬q) ∨ (p ↔ q)
3. ¬(¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p)
4. Nécessaire pour tous p,q

j) La formule "p est équivalent à q" ou "p est équivalent à la négation de q" est une tautologie.
1. (p ↔ q) ∨ (p ↔ ¬q)
2. ((p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p)) ∨ (p ↔ ¬q)
3. ((p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p)) ∨ ((p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p))
4. (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p), que nous pouvons vérifier au moyen de la table de vérité ci-dessous. La formule j) présente effectivement la valeur de vérité Nécessaire pour tous p,q.

Autres lois du syllogisme hypothétique

k) Si p, alors la négation de p infère q.

1. p → (¬p → q)
2. ¬p ∨ (p ∨ q)
3. ¬p ∨ p ∨ q
4. Nécessaire pour tous p,q

l) Si p, alors d'une part la négation de p infère q et d'autre part q infère p.

1. p → ((¬p → q) ∧ (q → p))
2. ¬p ∨ ((p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p))
3. ¬p ∨ (((p ∧ (¬q ∨ p)) ∨ (q ∧ (¬q ∨ p)))
4. ¬p ∨ (((p ∧ (¬q ∨ p)) ∨ ((q ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p))))
5. ¬p ∨ (p ∧ (¬q ∨ p)) ∨ (q ∧ p)

6. (p ∧ (¬q ∨ p)) ∨ ((¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ p))

7. (p ∧ (¬q ∨ p)) ∨ (¬p ∨ q)

8. (p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p ∨ ¬p ∨ q)

9. Nécessaire ∧ Nécessaire
10. Nécessaire pour tous p,q

m) Si d'une part p infère q et d'autre part q infère r, alors p infère r.

1. ((p → q) ∧ ( q → r)) → (p → r)
2. ¬((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r)) ∨ (¬p ∨ r)
3. ¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬q ∨ r) ∨ (¬p ∨ r)
4. (p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ (q ∧ ¬r) ∨ r
5. ((p ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ ¬p)) ∨ ((q ∨ r) ∧ (¬r ∨ r))
6. (¬q ∨ ¬p) ∨ (q ∨ r)
7. ¬p ∨ r ∨ Nécessaire
8. Nécessaire pour tous p,q

m2) On peut démontrer la formule suivante :

(p → q) → ((p ∨ r) → (q ∨ r)).
(¬p ∨ q) → (¬(p ∨ r) ∨ (q ∨ r))
¬(¬p ∨ q) ∨ (¬(p ∨ r) ∨ (q ∨ r))
(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬r) ∨ q ∨ r
((p ∨ q)∧ (¬q ∨ q)) ∨ (¬p ∧ ¬r) ∨ r
p ∨ q ∨ ¬p ∨ r
Nécessaire, pour tous p, q, r

m3) On peut démontrer la formule suivante :

((p ∨ r) → (q ∨ r)) → ((p → q) ∨ r)
¬(¬(p ∨ r) ∨ (q ∨ r)) ∨ ((¬p ∨ q) ∨ r)
¬((¬p ∧ ¬r) ∨ (q ∨ r)) ∨ ¬p ∨ q ∨ r
((p ∨ r) ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬p ∨ q ∨ r
(((p ∧ ¬r) ∨ (r ∧ ¬r)) ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ q ∨ r
(p ∧ ¬r ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ q ∨ r
((p ∨ ¬p) ∧ (¬r ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ ¬p)) ∨ q ∨ r
((¬r ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ ¬p)) ∨ q ∨ r
((¬r ∨ ¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p ∨ q)) ∨ r
(¬r ∨ ¬p ∨ q) ∨ r
Nécessaire, pour tous p, q, r

m4) On peut démontrer la formule suivante :

((p → q) ∧ (p → r)) → (p → (q ∧ r))
¬((¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)) ∨ (¬p ∨ (q ∧ r))
¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬p ∨ r) ∨ ¬p ∨ (q ∧ r)
(p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬r) ∨ ¬p ∨ (q ∧ r)
¬q ∨ ¬p ∨ (p ∧ ¬r) ∨ (q ∧ r)
¬q ∨ ¬p ∨ ¬r ∨ (q ∧ r)
¬q ∨ ¬p ∨ ¬r ∨ ¬q ∨ r
Nécessaire, pour tous p, q, r

m5) On peut démontrer la formule suivante :

((p → q) ∨ (p → r)) → (p → (q ∨ r))
¬(¬p ∨ q ∨ ¬p ∨ r) ∨ ¬p ∨ q ∨ r
¬(¬p ∨ q ∨ r) ∨ ¬p ∨ q ∨ r
on pose t ↔ (¬p ∨ q ∨ r)
¬t ∨ t
Nécessaire, pour tous p, q, r

Règles de conversion et raisonnement par l’absurde

n) La formule "p infère q" est équivalente à la formule "la négation de q infère la négation de p", c'est-à-dire à la contraposée de l'implication.

1. (p → q) ↔ (¬q → ¬p)
2. (¬p ∨ q) ↔ (q ∨ ¬p)
3. ((¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p)) ∨ (¬(¬p ∨ q) ∧ ¬(q ∨ ¬p))
4. ((¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p)) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬q ∧ p)
5. ((¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p)) ∨ ¬q
6. (¬p ∨ q ∨ ¬q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ ¬q)
7. Nécessaire ∧ Nécessaire
8. Nécessaire pour tous p,q

Cette formule n1. que nous venons de démontrer peut aussi s’écrire sous la forme :
1. (q → p) ↔ (¬p → ¬q)
2. (¬p → ¬q) ↔ (q → p)
3. En restreignant la précédente formule à l’implication directe on obtient la formule
(¬p → ¬q) → (q → p), qui est l’axiome W3 de Wajsberg (1931)

o) La formule "p infère la négation de q" est équivalente à la formule "q infère la négation de p".

1. (p → ¬q) ↔ (q → ¬p)
2. (¬p ∨ ¬q) ↔ (¬q ∨ ¬p)
3. ((¬p ∨ ¬q) ∧ (¬q ∨ ¬p)) ∨ (¬(¬p ∨ ¬q) ∧ ¬(¬q ∨ ¬p))
4. (¬p ∨ ¬q) ∨ (p ∧ q)
5. ¬p ∨ (¬q ∨ (p ∧ q))
6. ¬p ∨ ((¬q ∨ p) ∧ (¬q ∨ q))
7. ¬p ∨ (¬q ∨ p)
8. Nécessaire ∨ ¬q
9. Nécessaire pour tous p,q

p1) La formule (¬p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ (q ∧ ¬p) est équivalente à (¬p ∨ ¬q) ∧ ¬p ∧ (q ∨ ¬p)

(¬p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ (q ∧ ¬p)
((¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ ¬p
((¬p ∨ (q ∧ ¬p)) ∧ (¬q ∨ (q ∧ ¬p))) ∨ ¬p
((¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p)) ∨ ¬p
((¬p ∨ q) ∧ ¬p ∧ (¬q ∨ ¬p)) ∨ ¬p
((p → q) ∧ (q → ¬p) ∧ ¬p) ∨ ¬p
(((p → q) ∧ (q → ¬p)) ∨ ¬p) ∧ (¬p ∨ ¬p)
((¬p ∨ q ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ ¬p ∨ ¬p)) ∧ ¬p
(¬p ∨ ¬q) ∧ ¬p ∧ (q ∨ ¬p)
donc la formule 1. est équivalente à la 9.

p2) La formule : "p infère q" et simultanément "p infère la négation de q", ou p, est une tautologie.

1. ((p → q) ∧ (p → ¬q)) ∨ p
2. ((¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)) ∨ p
3. (¬p ∨ q ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p)
4. Nécessaire ∧ Nécessaire
5. Nécessaire, pour tous p,q

p3) La formule "la négation de p infère q" et simultanément "q infère p" est équivalente logiquement à p.

1. ((¬p → q) ⋀ (q → p)) ↔ p
2. (¬p → q) ⋀ (q → p)
3. (p ∨ q) ⋀ (¬q ∨ p)
4. (p ⋀ (¬q ∨ p)) ∨ (q ⋀ (¬q ∨ p))
5. (p ⋀ (¬q ∨ p)) ∨ (q ⋀ p)
6. (p ⋀ ¬q) ∨ p ∨ (q ⋀ p)
7. ((p ∨ (q ⋀ p)) ⋀ (¬q ∨ (q ⋀ p))) ∨ p
8. ((p ∨ (q ⋀ p)) ⋀ (¬q ∨ p)) ∨ p
9. (p ⋀ (¬q ∨ p)) ∨ (q ⋀ p ⋀ (¬q ∨ p)) ∨ p
10. (p ⋀ (¬q ∨ p)) ∨ (q ⋀ p) ∨ p
11. (p ⋀ (¬q ∨ p)) ∨ ((q ∨ p) ⋀ p)
12. (p ⋀ (q → p)) ∨ (p ⋀ (¬q → p))
13. p ⋀ ((q → p) ∨ (¬q → p))
14. p ⋀ (¬q ∨ p ∨ q ∨ p)
15. p , pour tous p,q

p4) La formule « p est équivalent à q » et simultanément « p est équivalent à la négation de q » est une contradiction.

1. (p ↔ q) ∧ (p ↔ ¬q)

2. ((p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p)) ∧ (p ↔ ¬q)

3. ((p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p)) ∧ ((p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p))

4. ((p ∧ q) ∨ NOR(p,q)) ∧ ((p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p))

On vérifie par la table de vérité que la relation 4. est une contradiction :

p5) La formule « p infère q » et simultanément « p infère la négation de q » est équivalente logiquement à la négation de p.

(p → q) ∧ (p → ¬q) ↔ ¬p

(p → q) ∧ (p → ¬q)
(¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
(¬p ∧ (¬q ∨ ¬p)) ∨ (q ∧ (¬q ∨ ¬p))
(¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬p) ∨ (q ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)
(¬p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ (q ∧ ¬p)
((¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)) ∨ ¬p
((¬p ∨ (q ∧ ¬p)) ∧ (¬q ∨ (q ∧ ¬p))) ∨ ¬p
((¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p)) ∨ ¬p
((¬p ∨ q) ∧ ¬p ∧ (¬q ∨ ¬p)) ∨ ¬p
((p → q) ∧ (q → ¬p) ∧ ¬p) ∨ ¬p
(¬p ∧ ¬p) ∨ ¬p (par p3)
¬p , pour tous p,q

q) Axiome III.4 que Sioson (1964) a introduit dans le cadre de la logique trivalente

(p → q) → (¬(q ∧ r) → ¬(p ∧ r))
¬(¬p ∨ q) ∨ ((q ∧ r) ∨ ¬(p ∧ r))
(p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ r) ∨ ¬p ∨ ¬r
¬q ∨ ¬p ∨ q ∨ ¬r
Nécessaire pour tous p, q

Expressions de l’implication en termes d’alternative et de conjonction

r) La formule p infère q est équivalente à la négation de la formule "p et simultanément négation de q".

1. (p → q) ↔ (¬(p ∧ ¬q))
2. (¬p ∨ q) ↔ (¬p ∨ q)
3. Nécessaire pour tous p,q

s) La négation de la formule p infère q est équivalente à la formule "p et simultanément négation de q".

1. (p ∧ ¬q) ↔ (¬(p → q))
2. (p ∧ ¬q) ↔ (¬(¬p ∨ q))
3. (p ∧ ¬q) ↔ (p ∧ ¬q)
4. Nécessaire pour tous p,q

t) La formule si p et simultanément q, alors r, est équivalente à si p, alors q infère r.

1. ((p ∧ q) → r) ↔ (p → (q → r))
2. (¬(p ∧ q) ∨ r)) ↔ (¬p ∨ (¬q ∨ r))
3. ((¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r)) ∨ (¬(¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ ¬(¬p ∨ ¬q ∨ r))
4. (¬p ∨ ¬q ∨ r) ∨ (¬(¬p ∨ ¬q ∨ r))
5. Nécessaire pour tous p,q

u) La formule "p infère q et simultanément p infère la négation de q" est équivalente à l'opération p NOR q.

(p → q) ⋀ (p → ¬q) ↔ (p NOR q)

Démonstration :

1. (p → q) ⋀ (p → ¬q)
2. (¬p ∨ q) ⋀ (¬p ∨ ¬q)
3. (¬p ⋀ (¬p ∨ ¬q)) ∨ (q ⋀ (¬p ∨ ¬q))
4. ¬p ∨ (¬p ⋀ ¬q) ∨ (q ⋀ ¬p)
5. ¬p ∨ ((¬p ∨ (q ⋀ ¬p)) ⋀ (¬q ∨ (q ⋀ ¬p)))
6. ¬p ∨ ((¬p ∨ (q ⋀ ¬p)) ⋀ ¬q ⋀ ¬p)
7. ¬p ∨ ((q ⋀ ¬p) ⋀ ¬q ⋀ ¬p)
8. (¬p ∨ (q ⋀ ¬p)) ⋀ (¬p ∨ ¬q)
9. (¬p ∨ q) ⋀ ¬p ⋀ (¬p ∨ ¬q)
10. (¬p ∨ q) ⋀ ¬p ⋀ ¬q
11. ((¬p ⋀ ¬q) ∨ (q ⋀ ¬q)) ⋀ ¬p
12. ¬p ⋀ ¬q
13. ¬(p ∨ q)
14. p NOR q , pour tous p,q

v) La valeur de vérité de la formule « p infère q et simultanément la négation de p infère q » est équivalente à la valeur de vérité de q.

((p → q) ⋀ (¬p → q)) ↔ q

Démonstration :

(p → q) ⋀ (¬p → q)
(¬p ∨ q) ⋀ (p ∨ q)
(¬p ⋀ (p ∨ q)) ∨ (q ⋀ (p ∨ q))
(¬p ⋀ q) ∨ (q ⋀ (p ∨ q))
(¬p ⋀ q) ∨ q (par absorption)
q (par absorption)
q, pour tous p, q

w) Première transposition de l'axiome Gödel-Löb de la logique modale en logique tétravalente :

1. Nécessité(Nécessité(p) → p) → Nécessité(p)
2. ¬(Nécessité(¬Nécessité(p) ∨ p)) ∨ Nécessité(p)
3. Contingence(Contingence(p) ∨ p) ∨ Nécessité(p)
4. Contingence(p) ∨ Nécessité(p)
5. Contingent ∨ Nécessaire
6. Nécessaire, pour tous p

x) La Possibilité et l'Impossibilité d'une proposition ne sont pas logiquement équivalentes.

Ceci revient à démontrer que la formule Possibilité(p) ↔ Impossibilité(p) est une contradiction.
1. Possibilité(p) ↔ Impossibilité(p)
2. (Possibilité(p) ∧ Impossibilité(p)) ∨ (¬Possibilité(p) ∧ ¬Impossibilité(p))
3. (Possible ∧ Impossible) ∨ (Impossible ∧ Possible)
4. Contingent, pour tous p.

y) Nous avons vu ci-avant que la valeur de vérité de la proposition p est logiquement équivalente à la formule "si la négation de p alors p".
On démontre de même l'équivalence suivante, qui n'est qu'un cas particulier de la propriété considérée :

(¬(p → q) → (p → q)) ↔ (p → q)

Démonstration :
1. ¬(p → q) → (p → q)
2. ¬(¬p ∨ q) → (¬p ∨ q)
3. ¬p ∨ q ∨ ¬p ∨ q
4. ¬p ∨ q
5. (p → q) , pour tous p,q

Tautologies reposant sur les opérations unaires

z1) Certaines tautologies sont directement le reflet de la métaphysique à l'origine de la conception de notre logique.

Il est Nécessaire que le Nécessaire implique le Possible, ou que le Nécessaire implique l'Impossible.

1. (Nécessité(p) → Possibilité(p)) ∨ (Nécessité(p) → Impossibilité(p))

2. ¬Nécessaire ∨ Possible ∨ ¬Nécessaire ∨ Impossible

3. Possible ∨ Impossible
4. Nécessaire , pour tous p.

Remarquons que la tautologie est conservée si on utilise dans la formule soit le OU exclusif (XOR), soit le NAND.

1. (Nécessité(p) → Possibilité(p)) ∨ (Nécessité(p) → Impossibilité(p))

2. (¬Nécessaire ∨ Possible) ∨ (¬Nécessaire ∨ Impossible)
3. Possible ∨ Impossible
4. (Possible ∧ ¬Impossible) ∨ (¬Possible ∧ Impossible)
5. Possible ∨ Impossible
6. Nécessaire , pour tous p

z2) Affirmer que le Nécessaire implique le Possible, et simultanément que le Nécessaire implique l'Impossible est une contradiction.

1. (Nécessité(p) → Possibilité(p)) ∧ (Nécessité(p) → Impossibilité(p))
2. (¬Nécessaire ∨ Possible) ∧ (¬Nécessaire ∨ Impossible)

3. Possible ∧ Impossible

4. Contingent , pour tous p.

z3) Il est Nécessaire que le Possible implique le Contingent, ou que l'Impossible implique le Contingent.

1. (Possibilité(p) → Contingence(p)) ∨ (Impossibilité(p) → Contingence(p))
2. (¬Possibilité(p) ∨ Contingence(p)) ∨ (¬Impossibilité(p) ∨ Contingence(p))
3. Possible ∨ Impossible
4. Nécessaire , pour tous p

z4) Affirmer que le Possible implique le Contingent, et simultanément que l'Impossible implique le Contingent, est une contradiction.

1. (Possibilité(p) → Contingence(p)) ∧ (Impossibilité(p) → Contingence(p))
2. (¬Possibilité(p) ∨ Contingence(p)) ∧ (¬Impossibilité(p) ∨ Contingence(p))
3. Impossible ∧ Possible
4. Contingent , pour tous p

z5) On remarque les tautologies suivantes : Le Contingent implique le Possible, ainsi que l'Impossible, ainsi que le Nécessaire ; le Possible (idem pour l'Impossible) implique le Nécessaire ; ceci est à rapprocher des tautologies FAUX → FAUX et FAUX → VRAI.

De plus, affirmer que le Nécessaire implique le Possible (ou l'Impossible, ou le Contingent) est une contradiction ; ceci est à rapprocher de la contradiction VRAI → FAUX.

z6) La Nécessité est équivalente à la formule "la Possibilité et l'Impossibilité".

1. (Possibilité(p) ∧ Impossibilité(p)) ↔ Nécessité(p)

2. ((Possibilité(p) ∧ Impossibilité(p)) ∧ Nécessité(p)) ∨ (¬(Possibilité(p) ∧ Impossibilité(p)) ∧ ¬Nécessité(p))

3. Contingent ∨ (Nécessaire ∧ Contingent)

4. Nécessaire , pour tous p

Syllogismes à 4 propositions

aa) Dilemme destructif

1. (((p → q) ∧ (r → s)) ∧ (¬q ∨ ¬s)) → (¬p ∨ ¬r)
2. ¬((¬p ∨ q) ∧ (¬r ∨ s) ∧ (¬q ∨ ¬s)) ∨ ¬p ∨ ¬r
3. ¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬r ∨ s) ∨ ¬(¬q ∨ ¬s) ∨ ¬p ∨ ¬r
4. (p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ ¬s) ∨ (q ∧ s) ∨ ¬p ∨ ¬r
5. ((p ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ ¬p)) ∨ ((r ∨ ¬r) ∧ (¬s ∨ ¬r)) ∨ (q ∧ s)
6. ¬q ∨ ¬p ∨ ¬s ∨ ¬r ∨ (q ∧ s)
7. ¬p ∨ ¬s ∨ ¬r ∨ ((¬q ∨ q) ∧ (¬q ∨ s))
8. ¬p ∨ ¬s ∨ ¬r ∨ ¬q ∨ s
9. Nécessaire ∨ ¬p ∨ ¬r ∨ ¬q
10. Nécessaire, pour tous p,q,r,s

ab) Dilemme constructif

1. (((p → q) ∧ (r → s)) ∧ (p ∨ r)) → (q ∨ s)
2. ¬((¬p ∨ q) ∧ (¬r ∨ s) ∧ (p ∨ r)) ∨ q ∨ s
3. ¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬r ∨ s) ∨ ¬(p ∨ r) ∨ q ∨ s
4. (p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ ¬r) ∨ q ∨ s
5. ((p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q)) ∨ ((r ∨ s) ∧ (¬s ∨ s)) ∨ (¬p ∧ ¬r)
6. q ∨ p ∨ s ∨ r ∨ (¬p ∧ ¬r)
7. q ∨ s ∨ r ∨ ((¬p ∨ p) ∧ (¬r ∨ p))
8. q ∨ s ∨ r ∨ ¬r ∨ p
9. Nécessaire ∨ q ∨ s ∨ p
10. Nécessaire, pour tous p,q,r,s

Perspectives

Tout d’abord nous avons montré que toutes les formules connues en logique bivalente booléenne restent valables dans notre logique tétravalente. Tous les résultats mathématiques et scientifiques produits à partir de la logique bivalente booléenne conservent ainsi leur valeur. Cependant, la logique bivalente booléenne ne forme qu’un sous-ensemble de ce qu’il est possible de formaliser par la logique tétravalente booléenne.

Sur le plan de la recherche en logique de la démontrabilité, le théorème de Löb et l'axiome de Gödel-Löb pourraient être reformulés à partir de la logique tétravalente, au lieu d'utiliser la logique modale classique.

Zbigniew Stachniak a montré en 1989 que toute logique définie par une collection K finie de matrices généralisées finies, et augmentée d’un algorithme qui détermine effectivement les valeurs admissibles des valeurs de vérité, était décidable. Cet ensemble K est appelé une sémantique calculatoire (computational semantics). Notre logique tétravalente booléenne est dans ce cas.

Les applications de la logique tétravalente seront très nombreuses. Son développement dans l’écosystème scientifique pourra s’inspirer de celui existant pour la logique modale classique. En informatique théorique on pourra ainsi appliquer la transformation de Tseytin aux formules issues de la logique tétravalente. Le principe est de décrire dans un schéma un circuit logique de traitement, où les portes représentent les fonctions logiques AND, NOR, NOT etc que nous avons formalisées en logique tétravalente. La transformation de Tseytin permet ensuite de générer des formules CNF, qui sont nécessaires à la résolution du problème de satisfiabilité booléen (appelé SAT en théorie de la complexité qui vise à résoudre les problèmes dits NP-complets), ici par l’approche CNF-SAT. On utilise à cet effet un logiciel solveur SAT. Le recours aux logiques à valeurs multiples pour la résolution du problème de satisfiabilité booléen a débuté dans les années 1990. En 2005, Ansotegui et Manyà ont montré que ce recours s’accompagnait de nets accroissements de performances du solveur SAT.

On pourra de même appliquer la logique tétravalente aux problèmes de décision dits de « satisfiabilité modulo des théories » (SMT).

En logique modale classique, on utilise divers langages informatiques de programmation (comme Molog, Modal Prolog, Modal Logic Programming...) pour simuler le fonctionnement de ces logiques particulières sur un ordinateur standard. On pourra adapter facilement ces langages pour simuler un fonctionnement en logique tétravalente.

Les portes logiques des schémas évoqués ci-avant pourront dans une autre étape être matérialisées sous une nouvelle forme, celle de circuits électroniques imprimés ou intégrés.

Références

• Alan Rose, Systems of logic whose truth-values form lattices, Mathematische Annalen, (December 1951) Volume 123, Issue 1, 152–165 ; en français : Sur les définitions de l’implication et de la négation dans certains systèmes de logique dont les valeurs forment des treillis, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, 246 (1958) 2091–2094.

• Nicholas Rescher, An Intuitive Interpretation of Systems of Four-Valued Logic, Notre Dame Journal of Formal Logic, 6 (1965) 154–156.

• Michaël Dunn, Relevance logic and entailment, in D. Gabbay & F. Guenthner (eds), Handbook of Philosophical Logic, 1ère éd., vol. 3, Dordrecht, P. C. Reidel, (1986)

• G.G. Granger, Sciences et réalité, Ed. Odile Jacob (2001)

• Zbigniew Stachniak, Many-valued Computational Logics, Journal of Philosophical Logic, 18 : 257-274 (1989)

• François Rivenc, Introduction à la logique pertinente, P.U.F. (2005)

• R. Hähnle. Advanced many-valued logic. in D. Gabbay, F. Guenthner, (Eds), Handbook of Philosophical Logic, volume 2. Kluwer, second edition (2001)

• C. Ansotegui, F. Manyà, Mapping Many-Valued CNF Formulas to Boolean CNF Formulas, Proceedings of the 35th International Symposium on Multiple-Valued Logics – ISMVL’05 (2005)

• Grzegorz Malinowski, Many-Valued Logic, in A Companion to Philosophical Logic, Chap. 34, Ed. Dale Jacquette, Blackwell Publishing Ltd (2006)

• George Epstein, Multiple-Valued Logic Design: an Introduction (29 sept. 2017)

• Bruno Paul, Logique tétravalente - partie 1 : métaphysique (14 nov. 2017)

Annexe sur la négation de De Morgan

Nous avons écarté en préalable le cas numéro 1 du treillis de De Morgan à quatre éléments. En effet, l'utilisation de la complémentation de De Morgan implique de sérieuses limitations au calcul formel propositionnel du premier ordre en logique tétravalente. Voici pourquoi. Cette annexe exemplifie les propos de François Rivenc, Introduction à la logique pertinente, Pp. 65-67.

La table de vérité de l’opération complémentation de De Morgan (DDM) notée ¬° est maintenant la série de définitions suivantes :

f¬°	complémentation DDM
Nécessaire	Contingent
Possible	Possible
Impossible	Impossible
Contingent	Nécessaire

Possible et Impossible sont deux points fixes par cette complémentation DDM.

Nous pouvons vérifier par la table de vérité précédente que la formule ¬°(¬°(p)) = p reste une tautologie.

Notre proposition pour la définition de l’opération ∧ comme donnant, par principe, l’intersection entre les valeurs de vérité des deux propositions, ou le résultat de vérité minimum, reste valable. Nous n'avons pas utilisé la négation pour l'élaborer. Sa table de vérité reste ainsi inchangée.

On remarque cependant que la complémentation DDM de la formule "p et simultanément la complémentation DDM de p", soit ¬°(p ∧ ¬°p), n’est plus une tautologie pour tous p.

p	¬°(p)	¬°(p ∧ ¬°p)
Nécessaire	Contingent	Nécessaire
Possible	Possible	Impossible
Impossible	Impossible	Possible
Contingent	Nécessaire	Nécessaire

De même, notre proposition pour la définition de l’opération ∨ reste valable. Nous n'avons pas utilisé la négation pour l'élaborer. Sa table de vérité reste ainsi inchangée.

On remarque cependant que la formule "p ou simultanément la complémentation DDM de p", soit (p ∨ ¬°p), n’est plus une tautologie pour tous p.

p	¬°(p)	(p ∨ ¬°p)
Nécessaire	Contingent	Nécessaire
Possible	Possible	Possible
Impossible	Impossible	Impossible
Contingent	Nécessaire	Nécessaire

L’utilisation de la complémentation de De Morgan implique que le treillis 4 devient un treillis complémenté avec :

un plus petit élément noté soit 0 soit Contingent, aussi appelée plus basse valeur de vérité ;
un plus grand élément noté soit 1 soit Nécessaire, aussi appelée plus haute valeur de vérité ;
et deux points fixes.

Les propriétés de ce treillis logique distributif sont :

Idempotence
Commutativité
Associativité
Distributivité
Absorption
Eléments neutres, bornes supérieure et inférieure

Les démonstrations sont les mêmes que ci-avant, puisqu’elles ne dépendent que des tables de vérité pour les relations ∧ et ∨ -lesquelles sont restées invariantes- et puisqu’elles n’utilisent pas la négation.

D’autres propriétés fondamentales du treillis ne sont plus respectées dans le cadre du recours à la complémentation DDM car leurs démonstrations utilisent les formules (a ⋁ ¬°a) ou ¬°(a ⋀ ¬°a) qui ne sont plus des tautologies pour tous p,q.

Les propriétés du treillis qui ne sont plus respectées dans le cadre du recours à la complémentation DDM sont les suivantes :

les formules de simplification ne sont plus valides
le théorème du consensus n’est plus valide

Il est aisé de définir ensuite les opérations NAND°, NOR°, XNOR°, →°, ↔°, etc... toutes utilisant la complémentation DDM. On montre avec les tables de vérité des deux premières opérations que les deux relations de De Morgan sont toujours valides, pour tous p,q :

¬°(p ⋀ q) = ¬°p ∨ ¬°q

¬°(p ∨ q) = ¬°p ⋀ ¬°q

Cependant, la plupart des propriétés que nous avions démontrées dans le cadre de la logique tétravalente booléenne, en particulier celles autour des notions d'implication et d'équivalence, ne sont plus des tautologies avec l'utilisation de la complémentation DDM. En effet toutes leurs démonstrations utilisent les formules (a ⋁ ¬°a) ou ¬°(a ⋀ ¬°a) qui ne sont plus des tautologies pour tous p,q. Plus de syllogisme disjonctif, plus d'affaiblissement, plus de règles d'inférences, plus de règles de conversion et de raisonnement par l’absurde... les logiciens ont alors introduit une condition d’intention supplémentaire ( a ≠ –a ) pour définir la négation de De Morgan dans les treillis intentionnels.

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